Mở rộng bằng chứng OR cho nhiều hơn hai câu lệnh

Tôi đã đọc về các giao thức sigma, đặc biệt là OR-Proof.

Nhiều ví dụ chỉ tính đến hai câu lệnh và đưa ra cách để nói rằng một trong các câu lệnh là hợp lệ chứ không phải câu lệnh nào. Ví dụ câu hỏi này bằng chứng không có kiến ​​​​thức về các tuyên bố phân biệt (bằng chứng HOẶC), hoặc giao thức 3 trong bài viết này Zero Knowledge Proofs với các giao thức Sigma, phần 4 của công việc này Trên Σ-giao thức và 2.4 này trên các slide này Σ-giao thức.

Tôi muốn mở rộng điều này đến 1 trong số $N$ câu lệnh (thay vì 1 trong số 2 ví dụ tôi đã tìm thấy). Nhiều công trình tham khảo Bằng chứng về Kiến thức Một phần và Đơn giản hóa Thiết kế các giao thức che giấu nhân chứng. Tôi đã cố gắng hiểu nó hoàn toàn để thực hiện 1 trong số $N$ or-protocol nhưng không may mắn. Chia sẻ bí mật được giới thiệu, theo tôi hiểu, để làm cho nó $t$ ra khỏi $N$, giới thiệu cổ phần, làm cho nó phức tạp hơn một chút đối với tôi.

Đối với giao thức 1 trong 2, một thử thách duy nhất được gửi đến người xác minh dựa trên tổng kết của thử thách "chính xác" và thử thách "ngẫu nhiên". Đây là nơi tôi đoán phần mở rộng cho các thử thách "ngẫu nhiên" hơn cần diễn ra.

Có thể mở rộng giao thức thành 1 trong số $N$ mà không sử dụng phần chia sẻ bí mật?

Nếu bạn chỉ muốn mở rộng đến $1$ ra khỏi $N$, một sửa đổi rất đơn giản của giao thức mà bạn đã quen thuộc là đủ: một thử thách duy nhất $e$ được gửi đến người châm ngôn, và người châm ngôn có thể tự do lựa chọn $N$ giá trị $(e_1, \cdots, e_N)$ như vậy mà $\sum_{i=1}^N e_i = e$. Cụ thể, điều này có nghĩa là nếu $i$-câu thứ là câu mà người tục ngữ có nhân chứng, họ sẽ chọn $(e_1, \cdots, e_{i-1}, e_{i+1}, \cdots, e_N)$ đồng đều một cách ngẫu nhiên trong bước đầu tiên và khi nhận thử thách $e$ từ người xác minh, họ sẽ xác định $e_i \gets e - \sum_{j\neq i} e_j$.