Tạo thứ tự $\lambda$ (là lcm((p-1),(q-1))) phần tử g trong paillier sửa đổi, tại sao lại là $-a^{2n}$?

Nếu chúng ta chọn $n$ là tích của hai số nguyên tố mạnh $p=2r+1$ và $q=2s+1$ với $r$ và $s$ nguyên tố, lưu ý rằng $p$ và $q$ là 3 mod 4 và đó $\mathrm{LCM}(p-1,q-1)=2rs$. Lựa chọn ngẫu nhiên $a$ và nâng nó lên thành sức mạnh $2n$ đưa ra một yếu tố của trật tự $\lambda/2=rs$ (có một cơ hội rất nhỏ để nhận được đơn đặt hàng $r$, $s$ hoặc $1$) và do đó là dư lượng bậc hai. Nhân với -1 sau đó làm cho nó không dư lượng và do đó có thứ tự $\lambda=2rs$. Nó cũng đảm bảo rằng ký hiệu Jacobi là 1 để không có thông tin nào bị rò rỉ qua các ký hiệu đó.

Nếu chúng ta không làm điều này, sẽ có một cơ hội không đáng kể rằng $a$ là dư lượng bậc hai và do đó $g$ sẽ có thứ tự $\lambda/2$ còn hơn là $\lambda$.