Chứng minh một hàm trong $\operatorname{GF}(2^n)$ khác biệt k-uniform

mathd

08:00, 10/01/2023

tôi muốn thể hiện điều đó $F(x) = x^{-1}$ Trong $\operatorname{GF}(2^{n})$ là vi phân 4 đồng phục cho chẵn $n$, và là vi phân 2 đồng nhất cho số lẻ $n$, mà không cần nhìn vào Bảng phân phối chênh lệch.

Nỗ lực của tôi:

Để cho $\alpha, \beta \in \operatorname{GF}(2^{n})$ và $\alpha \neq 0$

$$(x+\alpha)^{-1} - x^{-1} = \beta$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x + \alpha} - \frac{1}{x} = \beta$$

$$\Rightarrow \beta x^{2}+ \alpha \beta x + \alpha = 0$$

Làm sao để phương trình có nhiều nhất 4 hoặc 2 nghiệm $\operatorname{GF}(2^{n})$?

0 + 0

trường hữu hạn

Daniel S

09:16, 10/01/2023

Đó là một đa thức một biến trên một trường. Bạn nên biết một kết quả giới hạn số lượng giải pháp.

Hồi đáp

mathd

10:40, 10/01/2023

Nó có nhiều nhất 4 giải pháp, tôi nghĩ chúng ta không cần ràng buộc.

Hồi đáp

poncho

11:59, 10/01/2023

Nó có nhiều nhất 2 giải pháp; như Daniel đã nói, trong một trường, một bậc hai không tầm thường trên một biến duy nhất có nhiều nhất 2 nghiệm và đó là một kết quả khá nổi tiếng.

Hồi đáp

fgrieu

07:46, 12/01/2023

Để tham khảo: $F$ là $k$-uniform được định nghĩa là: $k$ là số nghiệm tối đa $x$ thành $F(x+\alpha)+F(x)=\beta$ khi $\alpha \ne0$ và $\beta$ lấy tất cả các cặp giá trị có thể. Lưu ý: Tôi đoán định nghĩa của $F$ của câu hỏi này giả định $F(0)=0$. Gợi ý: làm đại số một cách cẩn thận. $u=v\mathrel{\mathrel{\rlap{\hspace{.55em}\not}}\mathord{\Longleftrightarrow}}u\,w=v\,w$.

Hồi đáp

Phan Văn Trường

Câu hỏi này là trong các ngôn ngữ khác:

EN: Proving a function in $\operatorname{GF}(2^n)$ is differentially k-uniform

TH: การพิสูจน์ฟังก์ชันใน $\operatorname{GF}(2^n)$ เป็น k-uniform ที่แตกต่างกัน

RO: Demonstrarea unei funcții în $\operatorname{GF}(2^n)$ este k-uniformă diferențial

RU: Доказательство функции в $\operatorname{GF}(2^n)$ дифференциально k-равномерно

VI: Chứng minh một hàm trong $\operatorname{GF}(2^n)$ khác biệt k-uniform

Đăng câu trả lời

Hầu hết mọi người không hiểu rằng việc đặt nhiều câu hỏi sẽ mở ra cơ hội học hỏi và cải thiện mối quan hệ giữa các cá nhân. Ví dụ, trong các nghiên cứu của Alison, mặc dù mọi người có thể nhớ chính xác có bao nhiêu câu hỏi đã được đặt ra trong các cuộc trò chuyện của họ, nhưng họ không trực giác nhận ra mối liên hệ giữa câu hỏi và sự yêu thích. Qua bốn nghiên cứu, trong đó những người tham gia tự tham gia vào các cuộc trò chuyện hoặc đọc bản ghi lại các cuộc trò chuyện của người khác, mọi người có xu hướng không nhận ra rằng việc đặt câu hỏi sẽ ảnh hưởng—hoặc đã ảnh hưởng—mức độ thân thiện giữa những người đối thoại.