Tôi đang cố gắng nghiên cứu thuật toán CSIDH. Tôi có một số kiến thức cơ bản về đường cong elip và tôi đã theo dõi các bài giảng của Andrew Sutherland (https://math.mit.edu/classes/18.783/2019/lectures.html) để hiểu các vành nội hình và hành động nhóm lớp cũng như cách chúng ta có thể áp dụng lý thuyết trên các đường cong phức tạp vào các đường cong trên một trường hữu hạn. Nền tảng của tôi về lý thuyết số không tốt lắm nên đây có thể chỉ là một vấn đề đơn giản.
Trong CSIDH (trang 13) có đề cập rằng chúng ta là lý tưởng chính $(l)\mathcal{O}$ (ở đâu $\mathcal{O}$ là một bậc trong trường bậc hai ảo) chia thành hai iđêan $\mathbb{l}$ và $\mathbb{\overline{l}}$ như trong $(l)\mathcal{O}= \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ cũng ở đâu $\mathbb{l}, \mathbb{\overline{l}}$ được tạo ra bởi $(l, \pi \pm 1)$.
Sử dụng phép nhân lý tưởng tôi nhận được
$$
\mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} =(l, \pi + 1)(l, \pi -1) = (l^2, l(\pi -1), l(\pi + 1), \pi^2-1)
$$
tức là một phần tử $\alpha \in \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ nên có hình thức
$$
\alpha = al^2+bl(\pi-1)+cl(\pi+1)+d(\pi^2-1), \{a,b,c,d\} \subseteq \mathcal{O }
$$
Làm thế nào để tôi có được điều đó $\alpha = xl$ cho một số $x \in \mathcal{O}$? Có phải nó chỉ đơn giản là đơn giản hóa và sử dụng giả định rằng $\pi^2= 1 \mod l$ (tức là phương trình đặc trưng) bằng cách nào đó hoặc có một lý do phức tạp hơn?
Câu hỏi khác của tôi là chúng ta lấy nó ở đâu $\mathbb{l}$, $\mathbb{\overline{l}}$ do các phần tử đó sinh ra?
Cảm ơn bạn trước. Ngoài ra, việc chỉ ra một số tài nguyên tốt cũng sẽ hữu ích. Tôi đã tìm kiếm thông qua các bài báo được trích dẫn nhưng thật khó để tìm đúng nguồn.
