LAT của sboxes, tổng của coloms và hàng

hãy để chúng tôi có sbox s: Vn -> Vn.

Nếu chúng ta tạo bảng LAT cho s, sửa bất kỳ hàng nào và lấy tổng theo cột, tổng đó sẽ là $+-2^{n-1}$.

Và ngược lại, nếu ta sửa một cột bất kỳ và lấy tổng theo hàng thì tổng đó sẽ là $+-2^{n-1}$ quá. Tại sao nó như vậy?

Phần tử ở hàng "a", cột "b" của LAT là $#{<a, x>=<b,s(x)>} - 2^{n-1}$. ở đâu <,> là tích vô hướng.

Tổng là tổng của các số nguyên nằm trong một cột của ma trận/một hàng của ma trận.

Trước hết, một hàng/cột của LAT tương ứng với một chức năng thành phần của S-box/nghịch đảo của nó (sự kết hợp tuyến tính của các đầu ra). Vì vậy, hãy lấy giá trị của tổng tất cả các hệ số Walsh của bất kỳ hàm Boolean nào.

Tôi sẽ sử dụng định nghĩa biến đổi Walsh này. Kết quả cho những người khác có thể được điều chỉnh dễ dàng.

$$W_f(a) = \sum_{x\in F_n} (-1)^{\langle a, x\rangle + f(x)},$$ $$\sum_{a \in F_n}W_f(a) = \sum_{a \in F_n}\sum_{x\in F_n} (-1)^{\langle a, x\rangle + f(x)} = \sum_{x\in F_n}\big((-1)^{f(x)}\sum_{a \in F_n}(-1)^{\langle a, x\rangle}\big).$ $ Tổng bên trong bằng 0 bất cứ khi nào $x\ne 0$ (các hàm tuyến tính được cân bằng) và bằng $2^n$ khi nào $x=0$. Chúng tôi nhận được $$\sum_{a \in F_n}W_f(a) = 2^n\cdot (-1)^{f(0)}.$$

Điều này bạn có thể quan sát ví dụ: trên SageMath's BooleanFunction.walsh_hadamard_transform.