lưới q-ary - bằng chứng về tỷ lệ tối đa kép

Hai mạng tinh thể được định nghĩa như sau: \begin{align} \Lambda_q^{\bot}{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: A\mathbf{x} = \mathbf{0}\text{ mod }q\ } \ \Lambda_q{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: \mathbf{x} = A^T\mathbf{s} \text{ mod }q \text{ cho một số} \mathbf{s} \in \mathbb{Z}^n_q\}. \end{align} T.S.T.

1. $\Lambda_q{(A)} = q \cdot \Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$, ở đâu $\Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$ là đối ngẫu của $\Lambda_q^{\bot}{(A)}$, và
2. $\Lambda_q^{\bot}{(A)} = q \cdot \Lambda_q{(A)}^*$, ở đâu $\Lambda_q{(A)}^*$ là đối ngẫu của $\Lambda_q{(A)}$.

Trong hầu hết các tài liệu tham khảo, tôi thấy rằng nó chỉ là một bài tập và tôi không thể tìm ra bằng chứng.