Bản đồ bất biến mật mã

Trong [BGK+18] trong phần 4, Boneh et al. viết rằng:

Đối với bất kỳ sự lựa chọn của các lớp học lý tưởng $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n,\mathfrak{a}_1',\dots,\mathfrak{a}_n'$ Trong ${Cl}(\mathcal{O})$, giống abelian \begin{align} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \text{ và } (\mathfrak{a}_1' \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n' \star E) \end{align} đẳng cấu trên $\mathbb{F}_q$ nếu $\mathfrak{a}_1 \cdots \mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_1' \cdots \mathfrak{a}_n' $ Trong ${Cl}(\mathcal{O})$. Trong cụ thể: \begin{align} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \cong (\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n) \star E \times E^{n-1} \end{align}

Không có bằng chứng trong bài báo và tôi đã không thành công trong việc chứng minh điều này. Ai đó có thể chỉ cho tôi một bằng chứng cho những khẳng định này?