Khi sử dụng thừa số nguyên tố cho gen chính, có giới hạn về kích thước của các thừa số nguyên tố không?

"Lập thừa số nguyên tố" không đáng quan tâm, vì các số nguyên tố là thừa số riêng của chúng.

Thừa số thành các số nguyên tố không được sử dụng để tạo khóa.

Tôi kết luận câu hỏi đặt ra:

Khi tạo các số nguyên tố trong quá trình tạo các cặp khóa công khai/riêng tư cho các hệ thống lạnh dựa trên độ cứng của hệ số hóa (RSA, Rabin, Paillerâ¦), có giới hạn về kích thước của các thừa số nguyên tố không? Nếu vậy, điều đó có để lại một số lượng hạn chế các số nguyên tố có thể được sử dụng cho gen chính không? Và, nếu vậy, điều đó có khiến hệ thống mã hóa dễ bị tổn thương không?

Về mặt toán học, không có giới hạn trên về kích thước của thừa số nguyên tố. Có vô số số nguyên tố và (do đó) các số nguyên tố có kích thước bất kỳ.

Một số tiêu chuẩn đưa ra một giới hạn. Ví dụ FIPS 186-4 có giới hạn trên là $1536$ chút; chính xác hơn, đối với kích thước này, mỗi trong số hai số nguyên tố tạo thành mô đun tổng hợp phải nằm trong khoảng $[2^{1535.5},2^{1536}]$, do đó sản phẩm là $3072$-chút. Bằng định lý số nguyên tố, có khoảng khoảng $2^{1524}$ số nguyên tố trong khoảng này. Đó là về $600\underbrace{\text{million }\ldots\text{million }}_{76\text{ nhân với từmillion}}$. Đó là hạn chế, nhưng lớn đến mức nó không làm cho hệ thống dễ bị tổn thương cho bất kỳ mục đích thực tế nào.