SIDH: Điều gì sẽ xảy ra nếu hai bộ tạo hạt nhân được chọn trong cùng một nhóm xoắn?

Trong SIDH, một trong hai bên chọn điểm bí mật của mình $R_A = [m_A]P_A+[n_A]Q_A \in E[\ell_A^{e_A}]$, $R_B = [m_B]P_B+[n_B]Q_B \in E[\ell_B^{e_B}]$ từ hai bộ khác nhau $E[\ell_A^{e_A}]$ và $E[\ell_B^{e_B}]$. Vấn đề là gì nếu hai điểm được chọn từ cùng một tập hợp ($E[\ell_A^{e_A}]$ hoặc $E[\ell_B^{e_B}]$)?

Những điều rất tồi tệ xảy ra. Để cho $E' := E/â©R_Aâª$ là đường cong hình ảnh của isogeny $Ï:EâE'$ với hạt nhân $R_A$:

1. $Ï$ không tiêm vào $E[\ell_A^{e_A}]$: nó ánh xạ nó tới một nhóm con tuần hoàn $G â E'[\ell_A^{e_A}]$;
2. đồng sinh $\hat{Ï}:E' â E'/G$ là đồng phân kép của $Ï$;
3. Đặc biệt $E'/G$ đẳng cấu với $E$.

Như vậy nếu cả hai $R_A$ và $R_B$ là điểm trong $E[\ell_A^{e_A}]$, nhất thiết $Ï(R_B) â G$. Nếu $Ï(R_B)$ xảy ra là một máy phát điện của $G$ (trường hợp có thể xảy ra nhất), thì "bí quyết" được chia sẻ của biến thể SIDH này là đường cong bắt đầu. Nói chung, bí mật được chia sẻ cuối cùng sẽ trở thành một trong những đường cong trên con đường của Alice từ $E$ đến $E'$. Trong mọi trường hợp, điều này rõ ràng là không an toàn.