Trong bài báo [LPR12], Tôi đã học được rằng các mạng lý tưởng là các mạng lý tưởng trong các trường số đại số. Tuy nhiên, tôi không thể hiểu tại sao chúng ta xác định mạng kép của một mạng lý tưởng với $\operatorname{Tr}$:
$$
{L}^{\vee}=\{x \in K: \operatorname{Tr}(x {L}) \subseteq \mathbb{Z}\}
$$
Ý tôi là, chi tiết, đối với bất kỳ trường số đại số nào $K$, có một nhúng nhúng nó vào không gian $H$. Vì $K=\mathbb Q[\zeta]$, để cho $f\in\mathbb Q$ là đa thức nhỏ nhất của $\zeta$. Giả sử $\zeta$ có $s_1$ rễ thật và $s_2$ cặp gốc phức tạp (và $n=s_1+2s_2$), sau đó
$$
H=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{s_{1}} \times \mathbb{C}^{2 s_{ 2}}: x_{s_{1}+s_{2}+j}=\overline{x_{s_{1}+j}}, \forall j \in\left[s_{2}\right]\right \} \subseteq \mathbb{C}^{n}
$$
Việc nhúng được thực hiện bằng cách nhúng chính tắc $\sigma$ s.t. bất cứ gì $\alpha\bằng K$, $\sigma(\alpha)=(\sigma_i(\alpha))_{i\in[n]}$. Hơn thế nữa, $H$ có thể được nhúng thêm vào $\mathbb R^n$ bằng đẳng tích $h$, bằng cách nhúng các cặp liên hợp $(a+bi,a-bi)$ đến $(\sqrt2a,-\sqrt2b)$. (Tác giả cho biết đây là dạng hình học của mạng tinh thể lý tưởng.) Cho đến nay, dường như mọi thứ vẫn diễn ra tốt đẹp.
Tuy nhiên, đối với $\alpha,\beta\in K$, ánh xạ tới $\sigma(\alpha)=v=(v_i)_{i\in[n]},\sigma(\beta)=w=(w_i)_{i\in[n]}$, sản phẩm bên trong của $v$ và $w$ được định nghĩa là
$$
\langle v,w\rangle=\sum_{i\in [n]} v_i\overline{w_i}
$$
bằng nhau $\langle h(v),h(w)\rangle$ Trong $\mathbb R^n$.
Tuy nhiên, định nghĩa về mạng kép của một mạng lý tưởng sử dụng $\operatorname{Tr}$ thay vì như vậy của sản phẩm bên trong. Chúng ta có
$$
\operatorname{Tr}(\alpha\beta)=\sum_{i\in[n]}\sigma_i(\alpha)\sigma_i(\beta)=\sum_{i\in[n]}v_iw_i
$$
có vẻ khác với sản phẩm bên trong.
Ví dụ điển hình, tôi muốn làm việc với $K=\mathbb Q[i]$. Nó có hai nhúng $\sigma_1(a+bi)=a+bi,\sigma_2(a+bi)=a-bi$ đến $\mathbb C^2$, vì vậy nhúng chính tắc là
$$
\sigma(a+bi)=(a+bi,a-bi)
$$
Làm việc với một mạng lý tưởng $(1+2i)\mathbb Z+(-2+i)\mathbb Z$, và ánh xạ cơ sở để $\mathbb R^2$ qua $h\circ \sigma$, chúng ta có $L'=h\circ\sigma(L)=(\sqrt2,-2\sqrt2)\mathbb Z+(-2\sqrt2,-\sqrt2 )\mathbb Z$. Sau đó, chúng tôi điều trị $L'$ như mạng chung và tính mạng kép của nó là $(L')^\ast= (\frac{\sqrt 2}{10},-\frac{\sqrt2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt2}5,-\frac{\sqrt 2 }{10})$. Nếu chúng ta tính mạng kép của $L$ qua $\operatorname{Tr}$ định nghĩa, mạng kép sẽ là
$$
L^\vee=(\frac1{10}-\frac15i)\mathbb Z+(-\frac15-\frac1{10}i)\mathbb Z
$$
mà có thể được nhúng vào $\mathbb R^2$ như
$$
(h\circ\sigma)(L^\vee)=(\frac{\sqrt2}{10},\frac{\sqrt 2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt 2}5,\frac {\sqrt 2}{10})\mathbb Z
$$
khác với $(L')^\ast$, nó thay thế mục thứ hai của các vectơ cơ sở bằng số đối của chúng. Tại sao điều này xảy ra? Tôi đã làm điều gì sai ư? Hay là một quan điểm hình học khác của họ về mạng lý tưởng có ý nghĩa?
