Cách biết kết quả chính xác trong Paillier rẻ hơn-nhân không đổi

Chức năng mã hóa $E_{k^+}: Z_n \rightarrow Z_{n^2}$.
Chức năng giải mã $D_{k^-}: Z_{n^2} \rightarrow Z_n$.
$m_1 = 42, k = 15, n=77$.
Sau khi mã hóa, lũy thừa và giải mã, tôi nhận được: $$D_{k^-}((E_{k^+}(m_1))^k) \equiv 14 \bmod 77$$ Lớp dư lượng của $14$ có dạng: $$\langle 14 \rangle = \{\alpha \in Z: 14 + \alpha*77\}$$ Và một trong những giá trị này là $630 = 14 + 8*77 \equiv 630 \bmod 5929 \equiv 42*15 \bmod 77$
Vì vậy, câu hỏi là sau khi tôi giải mã và nhận được $14$ làm thế nào tôi có thể, từ giá trị này, suy ra rằng giá trị thực của $\alpha$ tôi đang tìm kiếm là $8$, từ đó suy ra $630$, giá trị thực của sản phẩm?
Nguyên nhân, theo như tôi biết, tất cả các số có thể modulo $5929$ Trong $\langle 14 \rangle$ có thể là sản phẩm hợp lệ nếu tôi không biết $m_1$ và $k$.

Bạn đang cố nói rằng nếu sản phẩm lớn hơn modulo thì tôi không thể nhận được kết quả thực sự?

Đúng. Pailler tính modulo $n$ ngay cả khi các mật mã nằm trong $[0,n^2)$. Không phải ngẫu nhiên, $42\times15\equiv14\pmod{77}$. Để Pailler được an toàn, người ta cần $n$ của vài trăm chữ số, vì vậy đó không nhất thiết là một vấn đề.