Định lý phần dư của Trung Quốc được sử dụng như thế nào trong chứng minh nàyï¼

Bạn có thể giải thích nó một cách chi tiết?

Bạn phải áp dụng định lý phần dư Trung Quốc cho chiếc nhẫn $\prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$.

Vành này đẳng cấu với vành $\times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$. hãy gọi $\phi$ đẳng cấu này.

Hãy nhớ lại điều đó cho tất cả $x \in \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$, $x \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ là $i$tọa độ của $\phi(x)$.

Sau đó, chúng tôi tính toán $t :=\phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+ 1})$.

Như vậy $t\in \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} $ (bởi vì $\phi^{-1} : \times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \rightarrow \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$).

Và $t\mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} = \phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+1}) \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ $$ = t_i \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} =t_i \mod \mathfrak{p}_i^{ e_{i}+1}$$